Algèbre effective (2023−2024)

Institution
Université Paris Cité
Cursus
M1 Mathématiques-Informatique Cryptographie (S1)
Responsibilities
Lectures: 24h.

Notes

Ce cours concerne l'étude de structures algébriques de base (groupes et anneaux) et de leurs propriétés. On met l'accent sur les manipulations effectives.

Chapitre I. Arithmétique de base

  • Section I.A. Généralités sur les groupes
  • Section I.B. Division euclidienne, PGCD, PPCM
    • I.B(a) Divisibilité
    • I.B(b) PGCD et PPCM
    • I.B(c) Primalité
  • Section I.C. Petit théorème de Fermat
  • Section I.D. Structure de ZnZ×
    • I.D(a) Cardinal
    • I.D(b) Cas des nombres premiers
    • I.D(c) Cas des puissances d’un nombre premier impair
    • I.D(d) Cas des puissances de 2
    • I.D(e) Cas général
  • Section I.E. Réciprocité quadratique
    • I.E(a) Symbole de Legendre
    • I.E(b) Loi de réciprocité quadratique
    • I.E(c) Symbole de Jacobi
  • Section I.F. Tests de primalité
    • I.F(a) Test de Fermat
    • I.F(b) Test de Solovay–Strassen
    • I.F(c) Test de Miller–Rabin

Chapitre II. Théorie des anneaux

  • Section II.A. Généralités sur les anneaux
    • II.A(a) Anneaux, idéaux
    • II.A(b) Éléments inversibles
    • II.A(c) Polynômes
    • II.A(d) Algèbres
  • Section II.B. Propriétés des anneaux
    • II.B(a) Anneaux intègres
    • II.B(b) Anneaux factoriels
    • II.B(c) Anneaux principaux
    • II.B(d) Anneaux noethériens ☆
    • II.B(e) Anneaux euclidiens
  • Section II.C. Corps des fractions
  • Section II.D. Anneaux de polynômes
  • Section II.E. Irréductibilité dans Zx et Qx

Chapitre III. Théorie des corps

  • Section III.A. Caractéristique et degré
    • III.A(a) Caractéristique d’un anneau
    • III.A(b) Extensions de corps
    • III.A(c) Degré d’une extension
    • III.A(d) Éléments algébriques et transcendants
  • Section III.B. Clôture et rupture
    • III.B(a) Extensions algébriques
    • III.B(b) Corps de rupture
    • III.B(c) Corps de décomposition
    • III.B(d) Clôture algébrique
  • Section III.C. Exemples
    • III.C(a) Clôture algébrique de Q
    • III.C(b) Construction à la règle et au compas
    • III.C(c) Quelques exemples en caractéristique non-nulle
  • Section III.D. Polynômes cyclotomiques
    • III.D(a) Racines de l’unité
    • III.D(b) Définition et premières propriétés
    • III.D(c) Irréductibilité sur Z
    • III.D(d) Extensions cyclotomiques

Chapitre IV. Corps finis

  • Section IV.A. Morphisme de Frobenius
  • Section IV.B. Existence et unicité de Fq
  • Section IV.C. Polynômes à coefficients dans Fq
  • Section IV.D. Théorème de Weddeburn ☆
  • Section IV.E. Théorie de Galois des corps finis

Chapitre V. Éléments de théorie de Galois

  • Section V.A. Extensions normales
  • Section V.B. Extensions séparables
    • V.B(a) Polynômes séparables
    • V.B(b) Corps parfaits
    • V.B(c) Extensions séparables
  • Section V.C. Théorème de l’élément primitif
  • Section V.D. Correspondance de Galois
    • V.D(a) Groupe de Galois
    • V.D(b) Extensions galoisiennes
    • V.D(c) Théorème principal
  • Section V.E. Exemples

Chapitre VI. Groupes abéliens de type fini

  • Section VI.A. Bases du calcul matriciel sur Z
  • Section VI.B. Opérations élémentaires
  • Section VI.C. Formes normales
    • VI.C(a) Équivalence de matrices
    • VI.C(b) Sur un corps
    • VI.C(c) Forme normale d’Hermite
    • VI.C(d) Forme normale de Smith
  • Section VI.D. Structure des groupes abéliens de type fini