Introduction à la théorie de l'homotopie (2019–2020)

M2 Mathématiques fondamentales (S2) • Cours • 24h • Mis à jour le

Le but de ce cours est de donner une introduction à la théorie de l’homotopie moderne, à ses outils et à ses applications, puis d’introduire la notion d’ \(\infty\)-catégorie. On suivra essentiellement deux exemples : l’exemple fondateur des espaces topologiques et l’exemple des complexes de chaînes (au sens des cours d’algèbre homologique et topologie algébrique). On présentera l’axiomatique moderne de l’homotopie, les catégories de modèles de Quillen, et on expliquera l'équivalence entre les espaces topologiques et les ensembles simpliciaux. On illustrera aussi ces méthodes via l’exemple de l’homotopie rationnelle pour montrer comment les structures multiplicatives des cochaines (singulières ou de Rham) encodent les espaces à homotopie rationnelle près.

Prérequis. Il est conseillé d’avoir suivi un cours de topologie algébrique ainsi qu’une introduction à l’algèbre homologique.

Plan

  1. Catégories de modèles.
  2. Foncteurs de Quillen et foncteurs dérivés.
  3. Comparaison des ensembles simpliciaux et espaces topologiques.
  4. Homotopie rationnelle.
  5. Notions de théorie des \(\infty\)-catégories.

Organisation

Les cours commencent le 6 janvier 2020 et se terminent le 13 février 2020.

Les deux premières semaines, ils ont lieu les :

Les quatre dernières semaines, ils auront lieu les :

  • mardis 14h00–16h00, Bâtiment Sophie Germain, salle 2016 (sauf le 11 février : salle 2017).
  • jeudis 9h–11h, Halle aux Farines, salle 280F (sauf le 6 février : je serai absent et le cours est avancé au 3 février).

La séance du jeudi 6 février est avancée au lundi 3 février de 16h15 à 18h15, dans la salle 137 du bâtiment Olympe de Gouges.

Le devoir maison facultatif (à rendre le 4 février si vous souhaitez avoir un retour sur les exercices que vous avez fait) est disponible ici. La solution est là.

L’examen a eu lieu le mardi 18 février de 14h à 17h, dans la salle 1009 du bâtiment Sophie Germain. Le programme comprenait les chapitres 1 et 2. La correction se trouve ici.

Lundi 6 janvier
Section 1.1 : Motivation, parallèle entre les espaces topologiques et les complexes de chaînes (équivalences d’homotopies, équivalences faibles, théorème(s) de Whitehead, modèles).
Mardi 7 janvier
Section 1.2 : Fibrations, cofibrations, propriétés de relèvement, suites exactes longues.
Lundi 13 janvier
Section 1.3 : Rappels catégoriques. Début de la Section 1.4. Définition des catégories de modèles.
Mardi 14 janvier
Section 1.4 : Quelques propriétés des catégories de modèles et exemples. Section 1.5 : localisation en général, définition de la relation d’homotopie à gauche.
Mardi 21 janvier
Section 1.5 : Fin de la description de la catégorie homotopique comme un quotient de la catégorie des objets fibrants-cofibrants.
Jeudi 23 janvier
Section 1.6 : Catégories de modèles cofibrement engendrées, argument du petit objet.
Mardi 28 janvier
Section 1.7 : Adjonctions et équivalences de Quillen. Section 1.8 : (Co)limites homotopiques.
Jeudi 30 janvier
Sections 2.1–2.3 : Introduction aux ensembles simpliciaux.
Lundi 3 février (⚠ créneau inhabituel 16h15–18h15)
Sections 2.4–2.5 : Structure de catégorie de modèles sur les ensembles simpliciaux et début de l'équivalence avec les espaces topologiques.
Mardi 4 février
Sections 2.5–2.6 : Fin de l'équivalence avec les espaces topologiques. Correspondence de Dold–Kan. Section 3.1 : Localisation par rapport aux équivalences rationnelles.
Jeudi 6 février
(cours avancé au 3 février)
Mardi 11 février (⚠ salle 2017)
Section 3.2–3.3 : Structure de catégorie de modèles sur les ADGC, théorie de Sullivan, comparaison avec les ensembles simpliciaux à équivalence rationnelle près.
Jeudi 13 février
Chapitre 3 : Quelques applications de la théorie de l’homotopie rationnelle. Chapitre 4 : Introduction très courte aux \(\infty\)-catégories.

Bibliographie

Grégory Ginot a donné un cours en 2017–2019 sur le même sujet. On pourra trouver sur sa page les notes de son cours, ainsi que les anciennes feuilles d’exercices et les anciens examens.

Ouvrages sur la théorie de l’homotopie :

Rappels de topologie algébrique et d’algèbre homologique :

(Le mot de passe est homotopie.)