Homotopie réelle des espaces de configuration (2019–2020)

Collège de France • Cours Peccot • 8h • Mis à jour le

Dans ce cours, nous étudierons le type d’homotopie réel des espaces de configuration de variétés. Les espaces de configuration consistent en des collections de points deux à deux distincts dans une variété donnée. L’étude de ces espaces est un problème classique en topologie algébrique. Une question importante à leur sujet est celle de l’invariance homotopique : si l’on peut déformer continûment une variété en une autre, est-ce que l’on peut déformer continûment les espaces de configuration de la première en les espaces de configuration de la seconde ? Cette question reste ouverte si l’on se restreint aux variétés compactes sans bord simplement connexes. Dans ce cours, nous verrons comment démontrer cette conjecture en caractéristique nulle (c’est-à-dire si l’on considère uniquement les invariants algébro-topologiques à coefficients réels). Nous considérerons ensuite une généralisation aux variétés à bord. La preuve fait intervenir des idées de la théorie des opérades, qui sera introduite à la fin du cours.

Ce cours sera en partie basé sur des travaux en collaboration avec Ricardo Campos, Julien Ducoulombier, Pascal Lambrechts et Thomas Willwacher.

Affiche du cours

Des notes de cours sont disponibles ici.

Informations pratiques

Les leçons se déroulent au Collège de France (11 place Marcelin-Berthelot, dans le 5ème arrondissement de Paris), en salle 5. Elles étaient initialement prévues les mercredi 4, 11, 18 et 25 mars 2020 de 11h à 13h. À cause de la pandémie de COVID-19, les deux dernières ont été reportées respectivement les 25 et 28 mai de 10h à 12h et ont été enregistrées sans public.

Leçons

Leçon 1
4 mars 2020, 11h–13h

Chapitre 1 : Espaces de configuration de variétés

  • Généralités sur les espaces de configuration
  • Conjecture de l’invariance homotopique
  • Théorie de l’homotopie rationnelle
  • Formalité de \(\mathrm{Conf}_{\mathbb{R}^n}\)
Vidéo
Leçon 2
11 mars 2020, 11h–13h

Chapitre 2: Le modèle de Lambrechts–Stanley

  • Définition du modèle et théorème
  • Compactifications des espaces de configuration
  • Ensembles et formes semi-algébriques
  • Définition du complexe de graphes non-réduit – Propagateur
Vidéo
Leçon 3
25 mai 2020 (en ligne)

Chapitre 2 : Le modèle de Lambrechts–Stanley (suite)

  • Fonction de partition et complexe réduit
  • Simplification de la fonction de partition
  • Quasi-isomorphisme : preuve combinatoire

Chapitre 3 : Variétés à bord

  • Motivation : recollements
  • Modèles à dualité de Poincaré–Lefschetz
Vidéo
Leçon 4
28 mai 2020 (en ligne)

Chapitre 3 : Variétés à bord (suite)

  • Compactifications de Fulton–MacPherson
  • Propagateurs
  • Complexes de graphes
  • Simplification des fonctions de partition
  • Fin de la preuve
  • Modèle de Lambrechts–Stanley perturbé

Chapitre 4 : Opérades

  • Introduction rapide à la théorie
  • Définition de l’homologie de factorisation
  • Lien avec les espaces de configuration
Vidéo