Homotopie réelle des espaces de configuration (2019–2020)

Collège de France • Cours Peccot • 8h • Mis à jour le

Du fait de la pandémie de COVID-19 qui sévit actuellement, les deux dernières leçons sont reportées à une date encore inconnue.

Dans ce cours, nous étudierons le type d’homotopie réel des espaces de configuration de variétés. Les espaces de configuration consistent en des collections de points deux à deux distincts dans une variété donnée. L'étude de ces espaces est un problème classique en topologie algébrique. Une question importante à leur sujet est celle de l’invariance homotopique : si l’on peut déformer continûment une variété en une autre, est-ce que l’on peut déformer continûment les espaces de configuration de la première en les espaces de configuration de la seconde ? Cette question reste ouverte si l’on se restreint aux variétés compactes sans bord simplement connexes. Dans ce cours, nous verrons comment démontrer cette conjecture en caractéristique nulle (c’est-à-dire si l’on considère uniquement les invariants algébro-topologiques à coefficients réels). Nous considérerons ensuite une généralisation aux variétés à bord. La preuve fait intervenir des idées de la théorie des opérades, qui sera introduite à la fin du cours.

Ce cours sera en partie basé sur des travaux en collaboration avec Ricardo Campos, Julien Ducoulombier, Pascal Lambrechts et Thomas Willwacher.

Affiche du cours

Des notes de cours (presque complètes) sont disponibles ici.

Informations pratiques

Les leçons se déroulent au Collège de France (11 place Marcelin-Berthelot, dans le 5ème arrondissement de Paris), en salle 5. Elles auront lieu les mercredi 4, 11, 18 et 25 mars 2020 de 11h à 13h et sont ouvertes à toutes et tous.

4 mars 11h–13h
Chapitre 1 : Espaces de configuration de variétés
  1. Généralités sur les espaces de configuration
  2. Conjecture de l'invariance homotopique
  3. Théorie de l'homotopie rationnelle
  4. Formalité de \(\mathrm{Conf}_{\mathbb{R}^n}\)
11 mars 11h–13h
Chapitre 2 : Le modèle de Lambrechts--Stanley
  1. Définition du modèle et théorème
  2. Compactifications des espaces de configuration
  3. Ensembles et formes semi-algébriques
  4. Définition du complexe de graphes non-réduit -- Propagateur
18 mars 11h–13h (reporté)
[résumé à venir]
25 mars 11h–13h (reporté)
[résumé à venir]

Plan

Le plan qui suit est sujet à changements (le découpage ne correspond pas exactement aux quatre leçons).

  1. Introduction
    • Espaces de configuration
    • Invariance homotopique
    • Rappels sur la théorie de l’homotopie rationnelle
    • Formalité de \(\mathrm{Conf}(\mathbb{R}^n)\)
  2. Modèle de Lambrechts–Stanley
    • Définition du modèle
    • Énoncé du théorème et idée de la preuve
    • Compactification de Fulton–MacPherson
    • Ensembles semi-algébriques et formes PA
    • Propagateur et définition du morphisme
    • Quasi-trivialité de la fonction de partition à homotopie près
    • Fin de la preuve
  3. Variétés à bord
    • Motivation : calculer des espaces de configuration « inductivement »
    • Modèle 1 : recollements de variétés le long de leurs bords
    • Modèle 2 : modèle de Lambrechts–Stanley perturbé et paires à dualité de Poincaré–Lefschetz
    • Travail en cours : espaces de configuration de surfaces
  4. Opérades
    • Motivation : homologie de factorisation
    • Introduction aux opérades
    • Structures opéradiques sur les compactifications
    • Formalité de Kontsevich (+ autres théorèmes de formalité)
    • Compatibilité du modèle de LS avec la structure opéradique
    • Exemple de calcul : \(\int_M \mathscr{O}_{\mathrm{poly}}(T\mathbb{R}^d[1-n])\)