Groupe de travail : Stabilité homologique

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Le groupe de travail porte sur les travaux récents de Galatius–Kupers–Randal-Williams sur la stabilité homologique, et plus particulièrement leur article Cellular \(E_k\)-algebras, dont voici le résumé :

“We give a set of foundations for cellular \(E_k\)-algebras which are especially convenient for applications to homological stability. We provide conceptual and computational tools in this setting, such as filtrations, a homology theory for \(E_k\)-algebras with a Hurewicz theorem, CW approximations, and many spectral sequences, which shall be used for such applications in future papers.”

Séances

Les notes manuscrites que j’ai prises durant les exposés sont disponibles ci-dessous. Les possibles erreurs qu’elles contiennent sont de mon fait.

7 février 2019, SG-2015
0 – Exposé introductif, Najib Idrissi
J’exposerai le plan général du groupe de travail et nous nous répartirons les exposés.
21 février 2019, SG-2015
1 – Filtrations et complexes CW, Sacha Ikonicoff notes
§5 : Algèbres filtrées, notations.
§6 : Algèbres cellulaires, algèbres CW, filtration squelettique ; Théorème 6.14 sur \(\operatorname{gr} \operatorname{sk}\).
7 mars 2019, SG-2015
2 – Homologie, théorèmes de Hurewicz et approximations, Mario Gonçalves Lamas notes
§10.1 Homologie des T-algèbres (voir §4.5 pour les indécomposables et §2.4 pour les catégories de diagrammes)
§11 Connectivité, théorèmes de Hurewicz, théorème de Whitehead, approximations CW
21 mars 2019, SG-2015
3 – Indécomposables et construction bar itérée, Hugo Pourcelot notes
§12.1 Rappels sur les opérades \(E_n\)
§13 Lien entre les indécomposables dérivés et la construction bar itérée (Théorème 13.7)
4 avril 2019, SG-2015
4 – Algèbres \(W_{k-1}\), Geoffroy Horel notes
§16.1, §16.2 Opérations homologiques sur les algèbres \(E_k\)
§16.3 Homologie des algèbres \(E_k\) libres
18 avril 2019, SG-2015
5 – Transfert et comparaison, Grégory Ginot notes
§14.1, §14.2 Transfert ascendant de lignes d’annulation
§14.3 Transfert descendant (idée de la preuve)
§15 Homologie relative et comparaison d’algèbres \(E_k\)
16 mai 2019, SG-2015
6 – Groupoïdes monoïdaux et algèbres \(E_k\), Jean-Michel Fischer notes
§12.2 Modules sur les algèbres \(E_1\)
§17.1 Une construction d’algèbres \(E_k\)
§17.2 Complexes de scindage
13 juin 2019, SG-2015
7 – Applications, Najib Idrissi notes
§18.1 Le théorème principal
§18.2, §18.3 Application aux groupes linéaires généraux

Références

L’article principal :

  • Soren Galatius, Alexander Kupers, Oscar Randal-Williams. Cellular \(E_k\)-algebras (2018). arXiv:1805.07184

Applications :

  • Soren Galatius, Alexander Kupers, Oscar Randal-Williams. \(E_2\)-cells and mapping class groups (2018). arXiv:1805.07187.
  • Soren Galatius, Alexander Kupers, Oscar Randal-Williams. \(E_\infty\)-cells and general linear groups of finite fields (2018). arXiv:1810.11931