Groupe de travail : Stabilité homologique

Mis à jour le

Le groupe de travail porte sur les travaux récents de Galatius–Kupers–Randal-Williams sur la stabilité homologique, et plus particulièrement leur article Cellular \(E_k\)-algebras, dont voici le résumé :

“We give a set of foundations for cellular \(E_k\)-algebras which are especially convenient for applications to homological stability. We provide conceptual and computational tools in this setting, such as filtrations, a homology theory for \(E_k\)-algebras with a Hurewicz theorem, CW approximations, and many spectral sequences, which shall be used for such applications in future papers.”

Séances

Les séances ont lieu le jeudi de 15h45 à 17h. Elles se déroulent dans le Bâtiment Sophie Germain (les salles SG-1xxx sont au premier étage, etc).

Les notes manuscrites que j’ai prises durant les exposés sont disponibles ci-dessous. Les erreurs possibles qu’elles contiennent sont de mon fait.

7 février 2019, SG-2015
0 – Exposé introductif, Najib Idrissi
J’exposerai le plan général du groupe de travail et nous nous répartirons les exposés.
21 février 2019, SG-2015
1 – Filtrations et complexes CW, Sacha Ikonicoff notes
§5 : Algèbres filtrées, notations.
§6 : Algèbres cellulaires, algèbres CW, filtration squelettique ; Théorème 6.14 sur \(\operatorname{gr} \operatorname{sk}\).
7 mars 2019, SG-2015
2 – Homologie, théorèmes de Hurewicz et approximations, Mario Gonçalves Lamas notes
§10.1 Homologie des T-algèbres (voir §4.5 pour les indécomposables et §2.4 pour les catégories de diagrammes)
§11 Connectivité, théorèmes de Hurewicz, théorème de Whitehead, approximations CW
21 mars 2019, SG-2015
3 – Indécomposables et construction bar itérée, Hugo Pourcelot notes
§12.1 Rappels sur les opérades \(E_n\)
§13 Lien entre les indécomposables dérivés et la construction bar itérée (Théorème 13.7)
4 avril 2019, SG-2015
4 – Algèbres \(W_{k-1}\), Geoffroy Horel notes
§16.1, §16.2 Opérations homologiques sur les algèbres \(E_k\)
§16.3 Homologie des algèbres \(E_k\) libres
18 avril 2019, SG-2015
5 – Transfert et comparaison, Grégory Ginot notes
§14.1, §14.2 Transfert ascendant de lignes d’annulation
§14.3 Transfert descendant (idée de la preuve)
§15 Homologie relative et comparaison d’algèbres \(E_k\)
16 mai 2019, SG-2015
6 – Groupoïdes monoïdaux et algèbres \(E_k\), Jean-Michel Fischer notes
§12.2 Modules sur les algèbres \(E_1\)
§17.1 Une construction d’algèbres \(E_k\)
§17.2 Complexes de scindage
13 juin, SG-2015
7 – Applications, Najib Idrissi
§18.1 Le théorème principal
§18.2, §18.3 Application aux groupes linéaires généraux
???
8 – Coefficients locaux, Mario Gonçalves Lamas ?
???
9 – Lien avec la dualité de Koszul, Muriel Livernet

Références

L’article principal :

  • Soren Galatius, Alexander Kupers, Oscar Randal-Williams. Cellular \(E_k\)-algebras (2018). arXiv:1805.07184

Applications :

  • Soren Galatius, Alexander Kupers, Oscar Randal-Williams. \(E_2\)-cells and mapping class groups (2018). arXiv:1805.07187.
  • Soren Galatius, Alexander Kupers, Oscar Randal-Williams. \(E_\infty\)-cells and general linear groups of finite fields (2018). arXiv:1810.11931