Formalité opéradique et homotopie des espaces de configuration

Thèse de doctorat, Université Lille 1 (). PDF Source Université Soutenance

Dans une première partie, nous étudions l’opérade $\mathsf{SC}_2$ « Swiss-Cheese » de Voronov, qui gouverne l’action d’une algèbre $\mathsf{D}_2$ sur une algèbre $\mathsf{D}_1$. Nous construisons un modèle en groupoïdes de cette opérade et nous décrivons les algèbres sur ce modèle de manière similaire à la description classique des algèbres sur $H_*(\mathsf{SC})$. Nous étendons notre modèle en un modèle rationnel dépendant d’un associateur de Drinfeld, et nous le comparons au modèle qui existerait si l’opérade $\mathsf{SC}$ était formelle. Dans une seconde partie, nous étudions les espaces de configurations des variétés compactes, lisses, sans bord et simplement connexes. Nous démontrons sur $\mathbb{R}$ une conjecture de Lambrechts–Stanley qui décrit un modèle de tels espaces de configurations, avec comme corollaire leur invariance homotopique réelle. En nous fondant sur la preuve par Kontsevich de la formalité des opérades $\mathsf{D}_n$, nous obtenons en outre que ce modèle est compatible avec l’action de l’opérade de Fulton–MacPherson quand la variété est parallélisée. Cela nous permet de calculer explicitement l’homologie de factorisation d’une telle variété. Enfin, dans une troisième partie, nous élargissons ce résultat à une large classe de variétés à bord. Nous utilisons d’abord une dualité de Poincaré–Lefschetz au niveau des chaînes pour calculer l’homologie des espaces de configurations de ces variétés, puis nous reprenons les méthodes du second chapitre pour obtenir le modèle, qui est compatible avec l’action de l’opérade Swiss-Cheese $\mathsf{SC}_n$.


Thèse dirigée par Benoit Fresse à l’Université de Lille et financée par une Allocation Spécifique de l’École Normale Supérieure.

Jury
Directeur de thèse : Benoit Fresse Université Lille 1
Rapporteurs : Damien Calaque Université de Montpellier
Kathryn Hess Bellwald École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL)
Examinateurs : Pascal Lambrechts Université catholique de Louvain
Patrick Popescu-Pampu Université Lille 1
Thomas Willwacher École Polytechnique Fédérale de Zurich (ETH Zurich)