Séminaire de Géométrie des Espaces Singuliers (3/4) @ Université de Lille

Après avoir donné une introduction aux opérades et décrit les opérades (topologiques) des petits disques $D_1$ et $D_2$ de Boardmann-Vogt et May, je parlerai de l’opérade $SC$ (« Swiss-Cheese ») de Voronov, qui gouverne en un certain sens l’action d’une algèbre $D_1$ sur une algèbre $D_2$. Dans le monde algébrique, l’opérade $D_1$ gouverne les algèbres associatives, et l’opérade $D_2$ gouverne les algèbres de Gerstenhaber. Un théorème de Voronov montre que de ce point de vue, (l’homologie de) l’opérade SC gouverne l’action d’un algèbre de Gerstenhaber sur une algèbre associative via un morphisme central. Les opérades $D_1$, $D_2$ et $SC$ sont toutes les trois complètement décrites par leurs groupoïdes fondamentaux. Les groupoïdes fondamentaux de $D_1$ et $D_2$ sont équivalents à des opérades qui gouvernent respectivement les catégories monoïdales et les catégories monoïdales tressées. J’expliquerai que le groupoïde fondamental de $SC$ est équivalent à une opérade qui fait intervenir les catégories monoïdales, les catégories monoïdales tressées et le centre de Drinfeld, en analogie avec le théorème de Voronov.