Algèbre et Analyse élémentaires 1 & Raisonnement Mathématique 1 (2020−2021)

Note : je n’étais chargé des cours et TD que de la deuxième moitié du semestre, pour le groupe Maths 3.

Mathématiques 1

Ce cours reprend, approfondit et complète les notions vues au Lycée, et introduit de nouvelles notions de bases indispensables pour le reste de la Licence de Mathématiques

• Etudes de fonctions (essentiellement des rappels du lycée) : Fonctions usuelles (polynomiales, rationnelles, trigonométriques, exponentielles, logarithmiques, fonctions puissances), limites, continuité, valeurs intermédiaires, dérivabilité, tracer des courbes représentatives.
• Arithmétique : Divisibilité, division euclidienne, PGCD/PPCM, théorème de Bezout, théorème de Gauss, décomposition en facteurs premiers, algorithme d’Euclide, relation de congruence.
• Nombres complexes I : Rappels de trigonométrie, congruence, forme algébrique d’un nombre complexe (partie réelle et partie imaginaire), conjugaison complexe et propriétés, module et propriétés (inégalité triangulaire), équations de second degré, représentation géométrique d’un nombre complexe : argument, forme trigonométrique et exponentielle, racines $n$-ième d’un nombre complexe, racines de l’unité (représentation sur le cercle trigonométrique).
• Nombres complexes II : Applications à la trigonométrie et à la géométrie (translations, rotations,…).
• Systèmes linéaires et géométrie affine : Résolutions de systèmes linéaires (Pivot de Gauss), notions de vecteurs en géométrie affine, notion de vecteurs linéairement indépendants, notion de repère (droites, plans, espace), repères orthogonaux/orthonormés, changement de repère, équations cartésiennes de droites et de plans, écritures paramétriques .
• Propriétés de $\mathbb{R}$ : Relation d’ordre total sur l’ensemble des réels, inégalités et compatibilité avec la somme et le produit, valeur absolue, intervalles de $\mathbb{R}$, voisinages, propriété de la borne supérieure, partie entière, densité dans $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$.
• Suites : convergence et limites infinies (comportement avec les opérations et inégalités), suites adjacentes, suites définies par récurrence (exemples : suites arithmétiques, suites géométriques, sommes arithmétiques, sommes géométriques).

Raisonnement Mathématique 1

Ce cours, dispensé en même temps que le cours d’Analyse et Algèbre élémentaires S1, permet d’aborder et de s’approprier les objets et raisonnements formels nécessaires pour la poursuite de la Licence de Mathématiques.

• Ensembles, applications :
  • Appartenance, inclusion, parties d’un ensemble, définition en extension, en compréhension, opérations ensemblistes, produit cartésien.
  • Fonctions/applications, image directe, image réciproque.
  • Applications injectives, surjectives, bijectives.
• Retour sur la mise en forme des démonstrations montrer/infirmer un énoncé universel/existentiel, raisonnement par contraposée, par l’absurde, par disjonction des cas, par récurrence.
• Relations :
  • Relations d’ordre.
  • Relations d’équivalence.