Algèbre et Analyse Fondamentales II (2024−2025)

Institution
Université Paris Cité
Cursus
L2 MIASHS (S2)
Responsibilities
Exercise sessions: 54h.

Note

Je suis chargé d’un des groupes de TD.

Syllabus

Maîtrise de l’algèbre bilinéaire, en vue du cours d’optimisation. Étude des suites et séries de fonctions, préalable à l’introduction de notions topologiques

Sommaire

  1. Algèbre
    • Formes bilinéaires, formes quadratiques, signature, décomposition de Gauss.
    • Produit scalaire, base orthonormée, projection et symétrie orthogonale. Orthonormalisation de Gram-Schmidt.
    • Endomorphisme orthogonal, symétrique, diagonalisation des matrices symétriques réelles. Groupe orthogonal. — Coniques (affines et métriques).
  2. Analyse
    • Suites et séries de fonctions Suites de fonctions.
      • Convergence simple, convergence uniforme.
      • La limite uniforme de fonctions continues est continue.
      • Interversion limite et dérivation, limite et intégration.
    • Séries de fonctions
      • Convergence uniforme et convergence normale.
      • Théorèmes de passage à la limite terme à terme, de dérivation terme à terme, d’intégration terme à terme.
    • Séries entières.
      • Série entière, rayon de convergence. Convergence normale sur tout disque fermé contenue dans le disque ouvert de rayon le rayon de convergence.
      • Développement des fonctions en séries entières. Fonction développable en série entière.
      • Produit de deux séries entières. Intégrale de Riemann et propriétés de l’intégrale. Continuité uniforme. Théorème de Heine
    • Fonctions de plusieurs variables
      • Fonctions de plusieurs variables.
      • Dérivées partielles d’ordre 1 et supérieur. Théorème de Schwarz pour une fonction régulière. Exemples de courbes données sous forme implicite.
      • Intégrales doubles élémentaires.