Les tresses sont des objets que l’on rencontre dans la vie quotidienne : des entrelacements formés de plusieurs fils, brins, cheveux… On sait peut-être moins qu’elles forment un groupe ! Avec une loi donnée par la concaténation (ou juxtaposition “bout à bout”).
Je commencerai cet exposé en expliquant comment modéliser mathématiquement les tresses, ainsi que quelques propriétés de base des groupes de tresses. J’exposerai ensuite le théorème de Dehornoy suivant : les groupes de tresses sont ordonnables à gauche, c’est-à-dire qu’ils admettent des relations d’ordre totales invariante par multiplication à gauche. Cela a de nombreuses conséquences : les groupes de tresses sont sans torsion, leur anneau associé n’a pas de diviseurs de zéro et n’admet pas d’éléments inversibles non-triviaux. Je donnerai une idée d’une partie de la preuve, avec l’algorithme de réduction des poignées.
Pour aller plus loin :
- P. Dehornoy. Le calcul des tresses. Une introduction, et au-delà. Nano 104. Paris : Calvage et Mounet, 2019. ISBN : 978-2-9163-5279-4.
- P. Dehornoy, I. Dynnikov, D. Rolfsen et B. Wiest. Why are braids orderable ? Panor. Synth. 14. Paris : Soc. Math. Fr., 2002. ISBN : 2-85629-135-X.
- C. Kassel. “The Dehornoy order on braids.” In : Séminaire Bourbaki. Volume 1999/2000. Exposés 865–879 Paris : Soc. Math. Fr., 2002, p. 7-28.