Algèbre (2024−2025)

Institution

Université Paris Cité.

Cursus

M1 Mathématiques-Informatique Cryptographie (S1).

Responsibilities

Lectures: 24h.

Notes

 Notes.

TD1

 TD1.

TD2

 TD2.

TD3

 TD3.

TD4

 TD4.

TD5

 TD5.

CC1 corrigé

 CC1 corrigé.

CC2 corrigé

 CC2 corrigé.

Exam corrigé

 Exam corrigé.

Ce cours concerne l’étude de structures algébriques de base (groupes et anneaux) et de leurs propriétés. On met l’accent sur les manipulations effectives.

Chapitre I. Arithmétique de base

• Section I.A. Généralités sur les groupes
• Section I.B. Division euclidienne, PGCD, PPCM
  • I.B(a) Divisibilité
  • I.B(b) PGCD et PPCM
  • I.B(c) Primalité
• Section I.C. Petit théorème de Fermat
• Section I.D. Structure de ZnZ×
  • I.D(a) Cardinal
  • I.D(b) Cas des nombres premiers
  • I.D(c) Cas des puissances d’un nombre premier impair
  • I.D(d) Cas des puissances de 2
  • I.D(e) Cas général
• Section I.E. Réciprocité quadratique
  • I.E(a) Symbole de Legendre
  • I.E(b) Loi de réciprocité quadratique
  • I.E(c) Symbole de Jacobi
• Section I.F. Tests de primalité
  • I.F(a) Test de Fermat
  • I.F(b) Test de Solovay–Strassen
  • I.F(c) Test de Miller–Rabin

Chapitre II. Théorie des anneaux

• Section II.A. Généralités sur les anneaux
  • II.A(a) Anneaux, idéaux
  • II.A(b) Éléments inversibles
  • II.A(c) Polynômes
  • II.A(d) Algèbres
• Section II.B. Propriétés des anneaux
  • II.B(a) Anneaux intègres
  • II.B(b) Anneaux factoriels
  • II.B(c) Anneaux principaux
  • II.B(d) Anneaux noethériens ☆
  • II.B(e) Anneaux euclidiens
• Section II.C. Corps des fractions
• Section II.D. Anneaux de polynômes
• Section II.E. Irréductibilité dans Zx et Qx

Chapitre III. Théorie des corps

• Section III.A. Caractéristique et degré
  • III.A(a) Caractéristique d’un anneau
  • III.A(b) Extensions de corps
  • III.A(c) Degré d’une extension
  • III.A(d) Éléments algébriques et transcendants
• Section III.B. Clôture et rupture
  • III.B(a) Extensions algébriques
  • III.B(b) Corps de rupture
  • III.B(c) Corps de décomposition
  • III.B(d) Clôture algébrique
• Section III.C. Exemples
  • III.C(a) Clôture algébrique de Q
  • III.C(b) Construction à la règle et au compas
  • III.C(c) Quelques exemples en caractéristique non-nulle
• Section III.D. Polynômes cyclotomiques
  • III.D(a) Racines de l’unité
  • III.D(b) Définition et premières propriétés
  • III.D(c) Irréductibilité sur Z
  • III.D(d) Extensions cyclotomiques

Chapitre IV. Corps finis

• Section IV.A. Morphisme de Frobenius
• Section IV.B. Existence et unicité de Fq
• Section IV.C. Polynômes à coefficients dans Fq
• Section IV.D. Théorème de Weddeburn ☆
• Section IV.E. Théorie de Galois des corps finis

Chapitre V. Éléments de théorie de Galois

• Section V.A. Extensions normales
• Section V.B. Extensions séparables
  • V.B(a) Polynômes séparables
  • V.B(b) Corps parfaits
  • V.B(c) Extensions séparables
• Section V.C. Théorème de l’élément primitif
• Section V.D. Correspondance de Galois
  • V.D(a) Groupe de Galois
  • V.D(b) Extensions galoisiennes
  • V.D(c) Théorème principal
• Section V.E. Exemples

Chapitre VI. Groupes abéliens de type fini

• Section VI.A. Bases du calcul matriciel sur Z
• Section VI.B. Opérations élémentaires
• Section VI.C. Formes normales
  • VI.C(a) Équivalence de matrices
  • VI.C(b) Sur un corps
  • VI.C(c) Forme normale d’Hermite
  • VI.C(d) Forme normale de Smith
• Section VI.D. Structure des groupes abéliens de type fini