Groupe de travail : Stabilité homologique

Le groupe de travail porte sur les travaux récents de Galatius–Kupers–Randal-Williams sur la stabilité homologique, et plus particulièrement leur article Cellular $E_k$-algebras, dont voici le résumé :

We give a set of foundations for cellular $E_k$-algebras which are especially convenient for applications to homological stability. We provide conceptual and computational tools in this setting, such as filtrations, a homology theory for $E_k$-algebras with a Hurewicz theorem, CW approximations, and many spectral sequences, which shall be used for such applications in future papers.

Séances

Les notes manuscrites que j’ai prises durant les exposés sont disponibles ci-dessous. Les possibles erreurs qu’elles contiennent sont de mon fait.

7 février : Exposé introductif (Najib Idrissi)

J’exposerai le plan général du groupe de travail et nous nous répartirons les exposés.

21 février 2019 : Filtrations et complexes CW (Sacha Ikonicoff)

Notes de la séance 1

§5 : Algèbres filtrées, notations. §6 : Algèbres cellulaires, algèbres CW, filtration squelettique ; Théorème 6.14 sur $\operatorname{gr} \operatorname{sk}$.

7 mars 2019 : Homologie, théorèmes de Hurewicz et approximations (Mario Gonçalves Lamas)

Notes de la séance 2

§10.1 Homologie des T-algèbres (voir §4.5 pour les indécomposables et §2.4 pour les catégories de diagrammes) §11 Connectivité, théorèmes de Hurewicz, théorème de Whitehead, approximations CW

21 mars 2019 : Indécomposables et construction bar itérée (Hugo Pourcelot)

Notes de la séance 3

§12.1 Rappels sur les opérades $E_n$ §13 Lien entre les indécomposables dérivés et la construction bar itérée (Théorème 13.7) |

4 avril 2019 : Algèbres $W_{k-1}$ (Geoffroy Horel)

Notes de la séance 4

§16.1, §16.2 Opérations homologiques sur les algèbres $E_k$ §16.3 Homologie des algèbres $E_k$ libres

18 avril 2019 : Transfert et comparaison (Grégory Ginot)

Notes de la séance 5

§14.1, §14.2 Transfert ascendant de lignes d’annulation §14.3 Transfert descendant (idée de la preuve) §15 Homologie relative et comparaison d’algèbres $E_k$

16 mai 2019 : Groupoïdes monoïdaux et algèbres $E_k$ (Jean-Michel Fischer)

Notes de la séance 6

§12.2 Modules sur les algèbres $E_1$ §17.1 Une construction d’algèbres $E_k$ §17.2 Complexes de scindage

13 juin 2019 Applications (Najib Idrissi)

Notes de la séance 7

§18.1 Le théorème principal §18.2, §18.3 Application aux groupes linéaires généraux

Références

L’article principal :

• Soren Galatius, Alexander Kupers, Oscar Randal-Williams. Cellular $E_k$-algebras (2018). arXiv:1805.07184

Applications :

• Soren Galatius, Alexander Kupers, Oscar Randal-Williams. $E_2$-cells and mapping class groups (2018). arXiv:1805.07187.
• Soren Galatius, Alexander Kupers, Oscar Randal-Williams. $E_{\infty}$-cells and general linear groups of finite fields (2018). arXiv:1810.11931