Algèbre et Analyse Fondamentales II (2023−2024)

Note : Je suis chargé d’un des groupes de TD.

Syllabus

Maîtrise de l’algèbre bilinéaire, en vue du cours d’optimisation. Étude des suites et séries de fonctions, préalable à l’introduction de notions topologiques

Sommaire

1. Algèbre
   • Formes bilinéaires, formes quadratiques, signature, décomposition de Gauss.
   • Produit scalaire, base orthonormée, projection et symétrie orthogonale. Orthonormalisation de Gram-Schmidt.
   • Endomorphisme orthogonal, symétrique, diagonalisation des matrices symétriques réelles. Groupe orthogonal. — Coniques (affines et métriques).
2. Analyse
   • Suites et séries de fonctions Suites de fonctions.
     • Convergence simple, convergence uniforme.
     • La limite uniforme de fonctions continues est continue.
     • Interversion limite et dérivation, limite et intégration.
   • Séries de fonctions
     • Convergence uniforme et convergence normale.
     • Théorèmes de passage à la limite terme à terme, de dérivation terme à terme, d’intégration terme à terme.
   • Séries entières.
     • Série entière, rayon de convergence. Convergence normale sur tout disque fermé contenue dans le disque ouvert de rayon le rayon de convergence.
     • Développement des fonctions en séries entières. Fonction développable en série entière.
     • Produit de deux séries entières. Intégrale de Riemann et propriétés de l’intégrale. Continuité uniforme. Théorème de Heine
   • Fonctions de plusieurs variables
     • Fonctions de plusieurs variables.
     • Dérivées partielles d’ordre 1 et supérieur. Théorème de Schwarz pour une fonction régulière. Exemples de courbes données sous forme implicite.
     • Intégrales doubles élémentaires.