Algèbre (2025−2026)

Institution

Université Paris Cité.

Cursus

M1 Mathématiques-Informatique Cryptographie (S1).

Responsibilities

Lectures: 24h. Exercise sessions: 33h.

Notes

Notes.

Ce cours concerne l’étude de structures algébriques de base (groupes et anneaux) et de leurs propriétés. On met l’accent sur les manipulations effectives.

Chapitre I. Arithmétique de base

• Section I.A. Généralités sur les groupes
• Section I.B. Division euclidienne, PGCD, PPCM
  • I.B(a) Divisibilité
  • I.B(b) PGCD et PPCM
  • I.B(c) Primalité
• Section I.C. Petit théorème de Fermat
• Section I.D. Structure de ZnZ×
  • I.D(a) Cardinal
  • I.D(b) Cas des nombres premiers
  • I.D(c) Cas des puissances d’un nombre premier impair
  • I.D(d) Cas des puissances de 2
  • I.D(e) Cas général
• Section I.E. Réciprocité quadratique
  • I.E(a) Symbole de Legendre
  • I.E(b) Loi de réciprocité quadratique
  • I.E(c) Symbole de Jacobi
• Section I.F. Tests de primalité
  • I.F(a) Test de Fermat
  • I.F(b) Test de Solovay–Strassen
  • I.F(c) Test de Miller–Rabin

Chapitre II. Théorie des anneaux

• Section II.A. Généralités sur les anneaux
  • II.A(a) Anneaux, idéaux
  • II.A(b) Éléments inversibles
  • II.A(c) Polynômes
  • II.A(d) Algèbres
• Section II.B. Propriétés des anneaux
  • II.B(a) Anneaux intègres
  • II.B(b) Anneaux factoriels
  • II.B(c) Anneaux principaux
  • II.B(d) Anneaux noethériens ☆
  • II.B(e) Anneaux euclidiens
• Section II.C. Corps des fractions
• Section II.D. Anneaux de polynômes
• Section II.E. Irréductibilité dans Zx et Qx

Chapitre III. Théorie des corps

• Section III.A. Caractéristique et degré
  • III.A(a) Caractéristique d’un anneau
  • III.A(b) Extensions de corps
  • III.A(c) Degré d’une extension
  • III.A(d) Éléments algébriques et transcendants
• Section III.B. Clôture et rupture
  • III.B(a) Extensions algébriques
  • III.B(b) Corps de rupture
  • III.B(c) Corps de décomposition
  • III.B(d) Clôture algébrique
• Section III.C. Exemples
  • III.C(a) Clôture algébrique de Q
  • III.C(b) Construction à la règle et au compas
  • III.C(c) Quelques exemples en caractéristique non-nulle
• Section III.D. Polynômes cyclotomiques
  • III.D(a) Racines de l’unité
  • III.D(b) Définition et premières propriétés
  • III.D(c) Irréductibilité sur Z
  • III.D(d) Extensions cyclotomiques

Chapitre IV. Corps finis

• Section IV.A. Morphisme de Frobenius
• Section IV.B. Existence et unicité de Fq
• Section IV.C. Polynômes à coefficients dans Fq
• Section IV.D. Théorème de Weddeburn ☆
• Section IV.E. Théorie de Galois des corps finis

Chapitre V. Éléments de théorie de Galois

• Section V.A. Extensions normales
• Section V.B. Extensions séparables
  • V.B(a) Polynômes séparables
  • V.B(b) Corps parfaits
  • V.B(c) Extensions séparables
• Section V.C. Théorème de l’élément primitif
• Section V.D. Correspondance de Galois
  • V.D(a) Groupe de Galois
  • V.D(b) Extensions galoisiennes
  • V.D(c) Théorème principal
• Section V.E. Exemples

Chapitre VI. Groupes abéliens de type fini

• Section VI.A. Bases du calcul matriciel sur Z
• Section VI.B. Opérations élémentaires
• Section VI.C. Formes normales
  • VI.C(a) Équivalence de matrices
  • VI.C(b) Sur un corps
  • VI.C(c) Forme normale d’Hermite
  • VI.C(d) Forme normale de Smith
• Section VI.D. Structure des groupes abéliens de type fini