Ce cours concerne l’étude de structures algébriques de base (groupes et anneaux) et de leurs propriétés. On met l’accent sur les manipulations effectives.

Chapitre I. Arithmétique de base

Section I.A. Généralités sur les groupes
Section I.B. Division euclidienne, PGCD, PPCM
- I.B(a) Divisibilité
- I.B(b) PGCD et PPCM
- I.B(c) Primalité
Section I.C. Petit théorème de Fermat
Section I.D. Structure de ZnZ×
- I.D(a) Cardinal
- I.D(b) Cas des nombres premiers
- I.D(c) Cas des puissances d’un nombre premier impair
- I.D(d) Cas des puissances de 2
- I.D(e) Cas général
Section I.E. Réciprocité quadratique
- I.E(a) Symbole de Legendre
- I.E(b) Loi de réciprocité quadratique
- I.E(c) Symbole de Jacobi
Section I.F. Tests de primalité
- I.F(a) Test de Fermat
- I.F(b) Test de Solovay–Strassen
- I.F(c) Test de Miller–Rabin

Chapitre II. Théorie des anneaux

Section II.A. Généralités sur les anneaux
- II.A(a) Anneaux, idéaux
- II.A(b) Éléments inversibles
- II.A(c) Polynômes
- II.A(d) Algèbres
Section II.B. Propriétés des anneaux
- II.B(a) Anneaux intègres
- II.B(b) Anneaux factoriels
- II.B(c) Anneaux principaux
- II.B(d) Anneaux noethériens ☆
- II.B(e) Anneaux euclidiens
Section II.C. Corps des fractions
Section II.D. Anneaux de polynômes
Section II.E. Irréductibilité dans Zx et Qx

Chapitre III. Théorie des corps

Section III.A. Caractéristique et degré
- III.A(a) Caractéristique d’un anneau
- III.A(b) Extensions de corps
- III.A(c) Degré d’une extension
- III.A(d) Éléments algébriques et transcendants
Section III.B. Clôture et rupture
- III.B(a) Extensions algébriques
- III.B(b) Corps de rupture
- III.B(c) Corps de décomposition
- III.B(d) Clôture algébrique
Section III.C. Exemples
- III.C(a) Clôture algébrique de Q
- III.C(b) Construction à la règle et au compas
- III.C(c) Quelques exemples en caractéristique non-nulle
Section III.D. Polynômes cyclotomiques
- III.D(a) Racines de l’unité
- III.D(b) Définition et premières propriétés
- III.D(c) Irréductibilité sur Z
- III.D(d) Extensions cyclotomiques

Chapitre IV. Corps finis

Section IV.A. Morphisme de Frobenius
Section IV.B. Existence et unicité de Fq
Section IV.C. Polynômes à coefficients dans Fq
Section IV.D. Théorème de Weddeburn ☆
Section IV.E. Théorie de Galois des corps finis

Chapitre V. Éléments de théorie de Galois

Section V.A. Extensions normales
Section V.B. Extensions séparables
- V.B(a) Polynômes séparables
- V.B(b) Corps parfaits
- V.B(c) Extensions séparables
Section V.C. Théorème de l’élément primitif
Section V.D. Correspondance de Galois
- V.D(a) Groupe de Galois
- V.D(b) Extensions galoisiennes
- V.D(c) Théorème principal
Section V.E. Exemples

Chapitre VI. Groupes abéliens de type fini

Section VI.A. Bases du calcul matriciel sur Z
Section VI.B. Opérations élémentaires
Section VI.C. Formes normales
- VI.C(a) Équivalence de matrices
- VI.C(b) Sur un corps
- VI.C(c) Forme normale d’Hermite
- VI.C(d) Forme normale de Smith
Section VI.D. Structure des groupes abéliens de type fini