Ce cours concerne l’étude de structures algébriques de base (groupes et anneaux) et de leurs propriétés. On met l’accent sur les manipulations effectives.
Chapitre I. Arithmétique de base
- Section I.A. Généralités sur les groupes
- Section I.B. Division euclidienne, PGCD, PPCM
- I.B(a) Divisibilité
- I.B(b) PGCD et PPCM
- I.B(c) Primalité
- Section I.C. Petit théorème de Fermat
- Section I.D. Structure de ZnZ×
- I.D(a) Cardinal
- I.D(b) Cas des nombres premiers
- I.D(c) Cas des puissances d’un nombre premier impair
- I.D(d) Cas des puissances de 2
- I.D(e) Cas général
- Section I.E. Réciprocité quadratique
- I.E(a) Symbole de Legendre
- I.E(b) Loi de réciprocité quadratique
- I.E(c) Symbole de Jacobi
- Section I.F. Tests de primalité
- I.F(a) Test de Fermat
- I.F(b) Test de Solovay–Strassen
- I.F(c) Test de Miller–Rabin
Chapitre II. Théorie des anneaux
- Section II.A. Généralités sur les anneaux
- II.A(a) Anneaux, idéaux
- II.A(b) Éléments inversibles
- II.A(c) Polynômes
- II.A(d) Algèbres
- Section II.B. Propriétés des anneaux
- II.B(a) Anneaux intègres
- II.B(b) Anneaux factoriels
- II.B(c) Anneaux principaux
- II.B(d) Anneaux noethériens ☆
- II.B(e) Anneaux euclidiens
- Section II.C. Corps des fractions
- Section II.D. Anneaux de polynômes
- Section II.E. Irréductibilité dans Zx et Qx
Chapitre III. Théorie des corps
- Section III.A. Caractéristique et degré
- III.A(a) Caractéristique d’un anneau
- III.A(b) Extensions de corps
- III.A(c) Degré d’une extension
- III.A(d) Éléments algébriques et transcendants
- Section III.B. Clôture et rupture
- III.B(a) Extensions algébriques
- III.B(b) Corps de rupture
- III.B(c) Corps de décomposition
- III.B(d) Clôture algébrique
- Section III.C. Exemples
- III.C(a) Clôture algébrique de Q
- III.C(b) Construction à la règle et au compas
- III.C(c) Quelques exemples en caractéristique non-nulle
- Section III.D. Polynômes cyclotomiques
- III.D(a) Racines de l’unité
- III.D(b) Définition et premières propriétés
- III.D(c) Irréductibilité sur Z
- III.D(d) Extensions cyclotomiques
Chapitre IV. Corps finis
- Section IV.A. Morphisme de Frobenius
- Section IV.B. Existence et unicité de Fq
- Section IV.C. Polynômes à coefficients dans Fq
- Section IV.D. Théorème de Weddeburn ☆
- Section IV.E. Théorie de Galois des corps finis
Chapitre V. Éléments de théorie de Galois
- Section V.A. Extensions normales
- Section V.B. Extensions séparables
- V.B(a) Polynômes séparables
- V.B(b) Corps parfaits
- V.B(c) Extensions séparables
- Section V.C. Théorème de l’élément primitif
- Section V.D. Correspondance de Galois
- V.D(a) Groupe de Galois
- V.D(b) Extensions galoisiennes
- V.D(c) Théorème principal
- Section V.E. Exemples
Chapitre VI. Groupes abéliens de type fini
- Section VI.A. Bases du calcul matriciel sur Z
- Section VI.B. Opérations élémentaires
- Section VI.C. Formes normales
- VI.C(a) Équivalence de matrices
- VI.C(b) Sur un corps
- VI.C(c) Forme normale d’Hermite
- VI.C(d) Forme normale de Smith
- Section VI.D. Structure des groupes abéliens de type fini