Raisonnement Mathématique 2 (2023−2024)

Dans ce cours, on aborde les notions essentielles pour l’analyse des fonctions d’une variable réelle : limite et continuité. Pour les introduire et les étudier, on utilise de façon essentielle la notion de voisinage d’un point, et pour établir les propriétés essentielles des fonctions continues, on expliquera également les concepts d’ouvert, fermé, compact de $\mathbb{R}$.

Pré-requis

Propriétés de $\mathbb{R}$, suites numériques, limite d’une suite, généralités sur les fonctions et les ensembles (MM1 et RM1).

Objectifs

• Comprendre et manipuler les notions topologiques dans $\mathbb{R}$ : intervalles, ouverts, fermés, voisinages, voisinages épointés…
• Comprendre la définition de la limite d’une fonction en un point.
• Comprendre la notion de continuité d’une fonction et les théorèmes généraux permettant démontrer qu’une fonction est continue.
• Aborder la notion de compacité : théorème de Bolzano-Weierstrass, image d’un compact par une fonction continue.